Як математика використовується в азартних іграх?

Існує велика різноманітність азартних розваг. У всіх ігор такого типу є одна ключова характеристика – виграш залежить не від навичок гравця, а від випадку. Попри це, гемблери все ж можуть визначити ймовірність випадання тієї чи іншої комбінації, а також дізнатися про свої шанси на перемогу. Усе це можливо завдяки математичним розрахункам. Докладніше про те, як математика застосовується в світі азартних ігор – далі в статті.

Математика й азартні ігри: трохи історії

Азартні ігри мають довгу історію. Уже в стародавні часи в Індії та Греції була поширена така розвага, як гра в кості. Тоді замість кубиків використовували астрагали – кістки тварин.

У Середні віки люди почали думали, скільки є можливих результатів у грі, а також якою кількістю способів можуть бути отримані ці комбінації. У 960 році французький єпископ Віболд написав роботу, у якій намагався дати відповідь на одне з цих запитань. Він нарахував, що під час кидання трьох кісток є тільки 56 імовірних результатів гри. Однак, як виявилося пізніше, це число не відображало реальної кількості рівноможливих подій. Це пов’язано з тим, що кожен із 56 можливих фіналів гри може бути отриманий у результаті додавання різних числових поєднань. Наприклад, єпископ стверджував, що число 4 може випасти, якщо на кістках випадуть комбінації 2 + 1 + 1. Насправді є три варіанти комбінацій, які дають у сумі цифру чотири: 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2.

У 1494 році математик Фра Лука Бартоломео де Пачолі випустив книгу, у якій описав, як розділити загальну ставку між двома учасниками, якщо гра завершилася достроково. Автор запропонував ділити ставку пропорційно очкам, які набрали суперники. Однак згодом виявилося, що він неправильно вирішив задачу.

У XV столітті математик та інженер Джироламо Кардано написав «Книгу про гру в кості» – дослідження з математичної теорії азартних ігор. У своїх міркуваннях він першим наблизився до загального поняття теорії ймовірностей. Він вказав, що є одне загальне правило для розрахунку: необхідно врахувати загальну кількість можливих результатів і число способів, за яких можуть з’явитися ці результати. Після цього потрібно знайти відношення останнього числа до числа можливих випадінь, які залишилися.

Окрім того, значний внесок у розвиток теорії ймовірностей зробили Блез Паскаль і П’єр Ферма. У своєму листуванні вони змогли вперше в історії коректно вирішити задачу про розподіл ставки між двома учасниками, з якою раніше не впорався Пачолі. Вони запропонували рішення, у яких присутні елементи використання математичного очікування, а також теореми про додавання та множення ймовірностей. У підсумку низка встановлених ними положень лягла в основу теорії ймовірностей.

Згодом тему використання математики в азартних іграх піднімали такі відомі математики, як Християн Гюйгенс, Якоб Бернуллі, Абрахам де Муавр та інші.

Теорія ймовірностей
та азартні ігри: як це працює?

Теорія ймовірностей – це розділ математики, який вивчає закономірності випадкових явищ. Імовірністю називають ступінь можливості настання якої-небудь події.

Завдяки математичним підходам можна розрахувати, з якою ймовірністю випаде та чи інша карта, які шанси гемблера на перемогу в азартній грі. Розрахунки можна проводити для таких гемблінг-розваг, як рулетка, кості, блекджек, покер, лотерея тощо.

Розглянемо докладніше, як можна застосовувати математику в азартних іграх.

Залежні та незалежні події:
що впливає на результат гри

Незалежними події називаються тоді, якщо поява події А не змінює ймовірності появи події В.

Наприклад, якщо ви підкинете монету двічі, то результат другого кидка ніяк не залежатиме від першого. Це говорить про те, що дії, які відбулися, ніяк не впливають одна на одну. У такому випадку розрахувати ймовірність того, що випаде та чи інша сторона монети можна за такою формулою: (1/2) × 2 = ¼ або 25%.

Залежним називають подію, якщо, окрім випадкових чинників, її ймовірність також залежить від появи або непояви іншої події.

Наведемо приклад, як розрахувати ймовірність того, що під час вилучення з колоди трьох випадкових карт кожна з них виявиться тузом. Стандартна так звана французька колода містить 52 карти, зокрема чотири тузи. Шанс, що з першого разу випаде туз, становить 4 до 52. Якщо першою витягнутою картою буде туз, то після цього в колоді залишиться 51 карта, серед яких буде три тузи. Тоді ймовірність стане 3 до 51. Якщо другою витягнутою картою також буде туз, то ймовірність випадання третьої карти такої ж масті становитиме 2 до 50.

Водночас важливо розуміти, що у випадку з залежними подіями, кожен новий крок впливає на результат наступної дії. У даному випадку кожне наступне витягування нової карти впливає на ймовірність результату наступної події.

Вірогідність позитивного результату події, коли під час добування трьох випадкових карт кожна з них виявиться тузом, розраховується за такою формулою: 4/52 × 3/51 × 2/50 = 0,000181.

Математичне очікування

Математичне очікування – це одне з найголовніших понять у теорії ймовірностей. Воно визначається як середнє вірогідне значення випадкової величини. У сфері гемблінгу цими поняттями позначають суму, яку гравець може виграти або програти за умови, якщо протягом тривалого часу робитиме однакові ставки.

Математичне очікування може бути позитивним або негативним. Наприклад, під час гри в рулетку у відсотковому співвідношенні чорне випадає частіше, ніж червоне. Унаслідок цього під час ставок на чорне математичне очікування буде позитивним, а на червоне – негативним. Також даний показник може дорівнювати нулю. Подібне відбувається, наприклад, під час підкидання монети. У такій грі орел і решка випадають із однаковою ймовірністю.

Математичне очікування використовується зокрема у сфері беттінгу. У цій ніші – це сума, яку учасник може отримати чи програти, якщо безліч разів битиметься об заклад з однаковим коефіцієнтом.

Для розрахунку математичного очікування використовується така формула. Вірогідність позитивного результату множиться на суму можливого виграшу. Імовірність негативного результату множиться на суму програшу. Потім від першого значення потрібно відняти суму, яка була отримана в другій дії.

Розглянемо приклад обчислення математичного очікування на прикладі ставок на спорт.

Припустимо, у грі між «Динамо» і «Шахтарем» імовірність перемоги київської команди становить 1/3,30 (або 0,303), шанси на виграш донецького клубу рівні 1/2,18 (0,459), імовірність нічиєї – 1/3,95 (0,253). Якщо ймовірність перемоги «біло-синіх» дорівнює 0,303, то шанси на програш становлять: 0,459 + 0,253 = 0,712. Припустимо, що ви вирішили поставити на «Динамо» 1000 гривень. За наявних коефіцієнтів можливий виграш досягне 2300 гривень.

Під час додавання наявних даних у формулу робимо обчислення: 0,303 × 2300 – 0,712 × 1000 = -15,1. У результаті вдалося встановити, що для такого парі середній розмір програшу становить 15,1 гривні.

Зазначимо, що загалом під час тривалої гри гемблер може здобути перемогу лише за позитивного математичного очікування. Окрім того, важливо враховувати, що у світі азартних ігор практично нема розваг, де б математичне очікування було позитивним. Це пов’язано з тим, що в бюджет казино переходить певний відсоток від ставок. Тому, попри результат гри, учасник однаково втрачатиме частину коштів.

Як розрахувати шанси на виграш?

Завдяки математиці можна обчислити не тільки ймовірність випадання певної карти чи поразки. Також можна розрахувати шанси на виграш в азартній грі.

Наприклад, завдяки математичним обчисленням можна визначити ймовірність перемоги в лотерею. Цей показник залежить від двох значень: загальної кількості чисел, доступних у грі, та кількості чисел, які потрібно вгадати. Щоб обчислити шанс на перемогу, потрібно провести розрахунки за такою формулою:

x номерів із n = (n) / (x) = n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3)… × [n – (x -1)] / 1 × 2 × 3 × 4 ×… x

в даному випадку n – це загальна кількість чисел;

x – це кількість чисел, які потрібно вгадати.

Розглянемо на прикладі лотереї, в якій для отримання виграшу потрібно вгадати 6 чисел із 45. Для такої азартної гри загальна кількість можливих комбінацій розраховується так:

45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40/1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 8 145 060

Отримана цифра свідчить про те, що ймовірність виграшу в лотерею становить 1 до 8 145 060.

Підсумок

Завдяки математичним підрахункам гравці можуть підвищити свої шанси на виграш. Однак важливо враховувати, що багато казино не вітають подібний підхід до азартних ігор. Деякі гральні заклади заборонено відвідувати тим, хто був викритий у підрахунку карт. Тому слід із обережністю ставитися до використання математики в азартних іграх.

Докладніше про міфи, пов’язані з ігровими автоматами, читайте за посиланням ►►►